Question

如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合）BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．

（1）证明：RP=RQ．
（2）请探究下列变化：
A、变化一：交换题设与结论．已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ．证明：RQ为⊙O的切线．
B、变化二：运动探求．（1）如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？（只交待判断） 
答：

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OQ，利用RQ为⊙O的切线，得出∠OQB+∠PQR=90°，根据半径OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，从而得∠PQR=∠QPR，证明结论；
（2）A，变化一的证明：与原命题的证明过程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO，再利用互余关系将角进行转化，证明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°即可；
B，成立，变化二的证明：仿照原命题的证明方法进行即可．

解答：（1）证明：连接OQ，
∵RQ为⊙O的切线，
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠PQR=∠BPO，
而∠BPO=∠QPR，
∴∠PQR=∠QPR，
∴RP=RQ；

（2）A，变化一：
证明：∵RP=RQ，
∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴RQ为⊙O的切线；
B，变化二．若OA向上平移，变化一中的结论还成立，
理由如下同A，
故答案为：成立．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．