Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，AB=6，DF＝4，将矩形沿直线EF折叠，点D恰好落在BC边上的点G处，连接DG交EF于点H.

(1)求DE的长度.

(2)求的值.

(3)若AB边上有且只存在2个点P，使△APE与△BPG相似，请直接写出边AD的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)3；(3)或.

【解析】

（1）根据矩形的性质易得CF=2，由折叠的性质可得DF=GF，在Rt△CFG中，利用勾股定理求得CG=，在Rt△CDG中求得DG=，得到∠CDG=30°，即∠EDG=60°，则可得△EDG为等边三角形，得到DE=DG=；

（2）根据折叠的性质可得EF垂直平分DG，在Rt△DHF中，根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半得到HF=2，在Rt△DEF中，求得EF的值，进而得到EH的值，即可得到答案；

（3）如图，

（1）由折叠的性质可得DF=GF，DE=GE，

∵AB=6，DF＝4，

∴CF=CD﹣DF=AB﹣DF=2，

在Rt△CFG中，，

在Rt△CDG中，，

∴DG=2CG，

∴∠CDG=30°，

∴∠EDG=60°，

∴△EDG为等边三角形，

∴DE=DG=；

（2）由折叠的性质可得：EF垂直平分DG，

∵∠CDG=30°，

∴HF=DF=2，

∵∠DEG=60°，

∴∠DEF=30°，

∴EF=2DF=8，

∴EH=EF﹣HF=6，

∴；

（3）如图，作G点关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，此时△APE∽△BPG，以EG为直径作圆交AB于P1，P2，此时△AP1E∽△BP1G，△AP2E∽△BP2G，

①当P点与P1重合时，满足条件，易证AP=AE，BP=BG，

设AD=x，则AP=AE=x﹣，BG=BP=6+﹣x，

则DE=2（BG﹣AE），即，

解得a=；

②当P1与P2重合时，满足条件，此时以GE为直径的圆与AB相切，

设AE=m，BG=n，

则DE=2（n﹣m）=，GE=2×=，

整理解得m=，

∴AD=AE+DE=.

综上可得AD的值为或.