Question

【题目】如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，，三点共线，求点到直线的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点F到直线BC的距离是．

【解析】

（1）由旋转的性质可得∠EDF=90°，DE=DF，由正方形的性质可得∠ADC=90°，DE=DF，可得∠ADE=∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE=CF；

（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE=CF=3，通过证明△ABO∽△CPF，可得，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．

解：（1）由旋转得：，，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴；

（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，

则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．

∵点O是BC中点，且AB=BC=2

∴BO=，

∴AO==5

∵OE=2

∴AE=AO-OE=3

∵△ADE≌△CDF

∴AE=CF=3，∠DAO=∠DCF

∴∠BAO=∠FCP，且∠ABO=∠FPC=90°

∴△ABO∽△CPF

∴

∴

∴PF=

∴点F到直线BC的距离为．