Question

【题目】如图，已知正方形的边长为4，是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线，相交于点.

（1）若，则 ；

（2）①求证：点一定在的外接圆上；

②当点从点运动到点时，点也随之运动，求点经过的路径长；

（3）在点从点到点的运动过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①详见解析；②2；（3）

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠BEP=∠DPC，得出△CDP∽△BPE，得出对应边成比例即可求出BE的长；
（2）①B、P、O、E四点共圆，即可得出结论；
②连接BO、BD，由勾股定理求出BD=4，由圆周角定理得出∠OBP=∠OEP=45°，周长点O在BD上，当P运动到点C时，O为BD的中点，即可得出答案；
（3）设的外接圆的圆心为M，作MN⊥CB于N，由三角形中位线定理得出MN=BE，设BP=x，则CP=4-x，由相似三角形的对应边成比例求出BE=x-x2=-（x-2）2+1，由二次函数的最大值求出BE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．

解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠DPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠DPC，
∴△CDP∽△BPE；

∴，即

∴BE=

（2）①证明：如图，
取PE的中点Q，连接BQ，OQ，

∵∠POE=90°，
∴OQ=PE，
∵△BPE是直角三角形，
∴点Q是Rt△BPE外接圆的圆心，
∴BQ=PE，
∴OQ=BQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）
②解：连接OB、BD，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBC=45°，
∴BD==4，
∵B、P、O、E四点共圆，
∴∠OBP=∠OEP=45°，
∴点O在BD上，
当P运动到点C时，O为BD的中点，OB=BD=2，
即点O经过的路径长为2；
（3）解：设△BPE的外接圆的圆心为M，作MN⊥BC于N，如图：

则MN∥BE，
∵ME=MP，
∴BN=PN，
∴MN=BE，
设BP=x，则PC=4-x，
由（1）得：△CDP∽△BPE，
∴，即，
解得：BE=x-x2=-（x-2）2+1

∴x=2时，BE的最大值为1，此时MN的值最大=，
即△APE的圆心到BC边的距离的最大值为．