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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=axa为抛物线y=ax2+bx+cabc为常数,a≠0)的梦想直线;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其梦想三角形

已知抛物线与其梦想直线交于AB两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C

1)填空:该抛物线的梦想直线的解析式为

2)如图,点M为线段CB上一动点,将ACMAM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若AMN为该抛物线的梦想三角形,求点N的坐标;

3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的梦想直线上,是否存在点F,使得以点ACEF为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点EF的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2N点坐标为(023)或()(3)满足条件的点F,此时E1)、F0)或E1),F4).

【解析】

1)由梦想直线的定义可求得其解析式;

2)当N点在y轴上时,过AADy轴于点D,则可知ANAC,结合A点坐标,则可求得ON的长,可求得N点坐标;当M点在y轴上即,M点在原点时,过NNPx轴于点P,由条件可求得∠NMP60°,在RtNMP中,可求得MPNP的长,则可求得N点坐标;

3)当AC为平行四边形的一边时,过F作对称轴的垂线FH,过AAKx轴于点K,可证△EFH≌△ACK,可求得DF的长,则可求得F点的横坐标,从而可求得F点坐标,由HE的长可求得E点坐标;当AC为平行四边形的对角线时,设E1t),由AC的坐标可表示出AC中点,从而可表示出F点的坐标,代入直线AB的解析式可求得t的值,可求得EF的坐标.

1)∵抛物线

∴其梦想直线的解析式为yx

故答案为:yx

2)联立梦想直线与抛物线解析式可得

解得

A22),B1,/span>0),

当点Ny轴上时,△AMN为梦想三角形,

如图1,过AADy轴于点D,则AD2

中,令y0可求得x3x1

C30),且A22),

AC

由翻折的性质可知ANAC

RtAND中,由勾股定理可得DN3

OD2

ON23ON23

ON23时,则MNODCM,与MNCM矛盾,不合题意,

N点坐标为(023);

M点在y轴上时,则MO重合,过NNPx轴于点P,如图2

RtAMD中,AD2OD2

tanDAM3

∴∠DAM60°

ADx轴,

∴∠AMC=∠DAO60°

又由折叠可知∠NMA=∠AMC60°

∴∠NMP60°,且MNCM3

MPMNNPMNsin60°=MN

∴此时N点坐标为();

综上可知N点坐标为(023)或();

3)①当AC为平行四边形的边时,如图2,过F作对称轴的垂线FH,过AAKx轴于点K

则有ACEFACEF

∴∠ACK=∠EFH

在△ACK和△EFH

∴△ACK≌△EFHAAS),

FHCK1HEAK2

∵抛物线对称轴为x1

F点的横坐标为02

∵点F在直线AB上,

∴当F点横坐标为0时,则F0),此时点E在直线AB下方,

Ex轴的距离为EHOF2,即E点纵坐标为

E1);

F点的横坐标为2时,则FA重合,不合题意,舍去;

②当AC为平行四边形的对角线时,

C30),且A22),

∴线段AC的中点坐标为(2.5),

E1t),Fxy),

x12.5),yt2

x4y2t

代入直线AB解析式可得2t×(4)+,解得t

E1),F4);

综上可知存在满足条件的点F,此时E1)、F0)或E1),F4).

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方差

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m

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n

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91

90

29

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