Question

【题目】如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．

（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（3）若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形OABC的面积相等时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），

∴AO=CB=4，OB=AC=8，

∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）．

设对角线AB所在直线的函数关系式为y=kx+b，

则有 ，解得： ，

∴对角线AB所在直线的函数关系式为y=﹣ x+4

（2）

解：∵四边形AOBC为长方形，且MN⊥AB，

∴∠AOB=∠MNB=90°，

又∵∠ABO=∠MBN，

∴△AOB∽△MNB，

∴ ．

∵AO=CB=4，OB=AC=8，

∴由勾股定理得：AB= =4 ，

∵MN垂直平分AB，

∴BN=AN= AB=2 ．

= = ，即MB=5．

OM=OB﹣MB=8﹣5=3，

由勾股定理可得：

AM= =5

（3）

解：∵OM=3，

∴点M坐标为（3，0）．

又∵点A坐标为（0，4），

∴直线AM的解析式为y=﹣ x+4．

∵点P在直线AB：y=﹣ x+4上，

∴设P点坐标为（m，﹣ m+4），

点P到直线AM： x+y﹣4=0的距离h= = ．

△PAM的面积S△PAM= AMh= |m|=SOABC=AOOB=32，

解得m=± ，

故点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）

【解析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由相似三角形的性质找到BM的长度，再结合OM=OB﹣BM得出OM的长，根据勾股定理即可得出线段AM的长；（3）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的图象和性质的相关知识，掌握一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．