Question

如图，已知抛物线y=

5

8

x²+bx+c经过直线y=-

1

2

+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）直线y=-

1

2

x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）作CD⊥x轴于D，根据题意求得∠OAB=∠CBD，然后求得△AOB∽△BDC，根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD，从而设BD=m，则C（2+m，2m），代入抛物线的解析式即可求得；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1，
∴A（0，1），
把y=0代入y=-

1

2

x+1得，x=2，
∴B（2，0），
把A（0，1），B（2，0）代入y=

5

8

x²+bx+c得，

1=c 0= 5 2 +2b+c

，解得

b=- 7 4 c=1

，
∴抛物线的解析式y=

5

8

x²-

7

4

x+1，
（2）如图，作CD⊥x轴于D，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∵∠AOB=∠BDC，
∴△AOB∽△BDC，
∴

CD

BD

=

OB

OA

=2，
∴CD=2BD，
设BD=m，
∴C（2+m，2m），
代入y=

5

8

x²-

7

4

x+1得，2m=

5

8

（m+2）²-

7

4

（m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），
∴C（4，4）；
（3）∵OA=1，OB=2，
∴AB=

5

，
∵B（2，0），C（4，4），
∴BC=2

5

，
①当△AOB∽△PBC时，则

PB

OA

=

BC

OB

∴

PB

1

=

2 5

2

，解得，PB=

5

，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，即

PE

1

=

5

5

，
∴PE=1，
∴P的纵坐标为±1，代入y=-

1

2

x+1得，x=0或x=4，
∴P（0，1）或（4，-1）；
②当△AOB∽△CBP时，则

PB

OB

=

BC

OA

，
即

PB

2

=

2 5

1

，解得，PB=4

5

，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，即

PE

1

=

4 5

5

，
∴PE=4，
∴P的纵坐标为±4，代入y=-

1

2

x+1得，x=-6或x=10，
∴P（-6，4）或（10，-4）；
综上，P的坐标为（0，1）或（4，-1）或（-6，4）或（10，-4）．

点评：本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键．