如图.一次函数的图象与反比例函数y1=-3x的图象相交于A点.与y轴.x轴分别相交于B.C两点.且C(2.0)．当x＜-1时.一次函数值大于反比例函数的值.当x＞-1时.一次函数值小于反比例函数值．(1)求一次函数的解析式,(2)设函数y2=ax的图象与y1=-3x的图象关于y轴对称．在y2=ax的图象上取一点P.过P作PQ⊥x轴.垂足是Q.若四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，一次函数的图象与反比例函数y₁=-

（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜-1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x＞-1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y₂=

（x＞0）的图象与y₁=-

（x＜0）的图象关于y轴对称．在y₂=

（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过原点O作直线交线段BQ于点M，若BM：MQ=4：5，在双曲线y₂=

（x＞0）上，是否存在点P′，使点P′与点P关于直线OM对称？若存在，请直接写出点P′的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据当x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值；当x＞-1时，一次函数值小于反比例函数值，利用函数图象得到A横坐标为-1，将x=-1代入反比例解析式求出y的值，确定出A的坐标，设一次函数解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由函数y₂═

（x＞0）的图象与y₁=-

（x＜0）的图象关于y轴对称，可确定出函数y₂=

（x＞0）的解析式，求出三角形BOC面积，设P（n，

），表示出PQ，OQ的长，利用梯形的面积公式表示出梯形PQOB的面积，由梯形PQOB面积减去三角形BOC面积表示出四边形BCQP的面积，根据四边形BCQP面积为2列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可得到点P的坐标；
（3）根据双曲线的对称性，点P关于直线y=x的对称点P′必在此双曲线上，因此，只需计算直线OM是否为第一、三象限的角平分线．过点M作MN⊥x轴于N，可证RT△MNQ∽RT△BOQ，利用相似三角形的性质

，可得MN=

，再利用

，求得NQ=

，从而得到ON=

，故可得MN=ON，所以直线OM是否为第一、三象限的角平分线，即可得到答案．

解答：解：（1）∵x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞-1时，一次函数值小于反比例函数值．
∴A点的横坐标是-1，把x=-1代入y₁=-

，得y=3
∴A（-1，3），
设一次函数解析式为y=kx+b，因直线过A、C，
则

-k+b=3

2k+b=0

，
解得：

k=-1

b=2

，
∴一次函数解析式为y=-x+2
（2）∵y₂=

（x＞0）的图象与y₁=-

（x＜0）的图象y轴对称，
∴y₂=

（x＞0），
∵B点是直线y=-x+2与y轴的交点，
∴B （0，2），
设P（n，

），n＞2 S_{四边形BCQP}-S_△BOC=2，
∴

（ 2+

）n-

×2×2=2，n=

，
∴P（

，

）；
（3）存在，P′（

，

）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法及数形结合思想是解本题的关键．

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（3）点G与点H之间的所有连线中，哪条最短？请说明理由．