Question

对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的最值,待定系数法求一次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用二次函数对称性即可得出B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD=-x-3-（x²+2x-3）进而求出最值．

解答：解：（1）∵点A（-3，0）与点B关于直线x=-1对称，
∴点B的坐标为（1，0）．

（2）∵a=1，∴y=x²+bx+c．
∵抛物线过点（-3，0），且对称轴为直线x=-1，
∴

9-3b+c=0 - b 2 =-1

∴解得：

b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3，
且点C的坐标为（0，-3）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则

-3m+n=0 n=-3

，
解得：

m=-1 n=-3

，
∴y=-x-3

如图，设点Q的坐标为（x．y），-3≤x≤0．
则有QD=-x-3-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

∵-3≤-

3

2

≤0，∴当x=-

3

2

时，QD有最大值

9

4

．
∴线段QD长度的最大值为

9

4

．

点评：此题主要考查了二次函数最值问题以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，正确得出QD的解析式是解题关键．