Question

6．当n=1，2，3，4，5，…，2012，2013时，二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象与x轴所截的线段长度之和为（　　）

• A． $\frac{2011}{2012}$
• B． $\frac{2012}{2013}$
• C． $\frac{2013}{2014}$
• D． $\frac{2014}{2015}$

Answer 1

分析 令y=0求得方程的两根分别为x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{n+1}$，从而可求得图象与x所截线段的长度为$\frac{1}{n（n+1）}$，然后将n=1，2，3，4，5，…，2012，2013代入，最后求得它们的和即可．

解答 解：令y=0得：（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
∴（nx-1）[（n+1）x-1]=0．
∴x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{n+1}$．
∴图象与x轴所截的线段长度=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴图象与x轴所截的线段长度之和=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…$+\frac{1}{2012×2013}+\frac{1}{2013×2014}$
=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…$+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$
=1-$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2013}{2014}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是二次函数图象与x轴的交点、因式分解法解一元二次方程，利用拆项法求得图象与x轴所截的线段长度之和是解题的关键．