Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点F，交⊙O于点D，连接AD、CD，∠E=∠ADC.

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若BC=6，tanA =，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）⊙O的半径为.

【解析】

（1）要证BE是⊙O的切线，即可转化为证明∠ABE=90°即可；

（2）连接BD，利用垂径定理与圆周角定理可求出DF的长，设OB=x，则OF=x-DF，再利用勾股定理即可求出x的值，即⊙O的半径.

（1）证明：∵OD⊥BC

∴∠E+∠FBE=90°

∵∠ADC=∠ABC,∠ADC=∠E

∴∠ABC=∠E∴∠ABC+∠FBE=90°

∴BE与⊙O相切；

（2）连接BD，

∵OD⊥BC，

∴

∴∠BCD=∠CBD，

∵∠A=∠BCD

∴∠CBD=∠A

∴tanA=tan∠CBD=，

∵FC=BF=3，

∴DF=2，

在Rt△CFD中，设半径OB=x，则OF=x-2，

∴

解得

∴⊙O的半径为.