【题目】如图,直线y=﹣x+5与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣x+5交于B,C两点,已知点D的坐标为(0,3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M,N分别是直线BC和x轴上的动点,则当△DMN的周长最小时,求点M,N的坐标,并写出△DMN周长的最小值;
(3)点P是抛物线上一动点,在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使∠PBA=∠ODN?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)点M、N的坐标分别为(,)、(,0),△DMN周长的最小值=;(3)点P(﹣,).
【解析】
(1)求出点B、C的坐标、将点B、C坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′(0,-3)、D″,连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M,此时△DMN的周长最小,即可求解;
(3)tan∠ODN==tan∠PBA,确定直线BP的表达式,即可求解.
(1)y=﹣x+5,令x=0,则y=5,令y=0,则x=5,
故点B、C的坐标分别为(5,0)、(0,5),
则二次函数表达式为:y=﹣x2+bx+5,将点B坐标代入上式并解得:b=4,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5…①,
令y=0,则x=﹣1或5,
故点A(﹣1,0),而OB=OC=2,故∠OCB=45°;
(2)过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′(0,﹣3)、D″,
∵∠OCB=45°,则CD″∥x轴,则点D″(2,5),
连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M,此时△DMN的周长最小,
将点D′、D″的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线D′D″的坐标代入一次函数表达式为:y=4x﹣3,
则点M、N的坐标分别为(,)、(,0),
△DMN周长的最小值=DM+DN+MN=;
(3)如图2,tan∠ODN==tan∠PBA,
则直线BP的表达式为:y=﹣x+s,将点B的坐标代入上式并解得:
直线BP的表达式为:y=﹣x+…②,
联立①②并解得:x=5或﹣(舍去5)
故:点P(﹣,).
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【题目】“绿水青山就是金山银山”,为保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:
村庄 | 清理养鱼网箱人数/人 | 清理捕鱼网箱人数/人 | 总支出/元 |
A | 15 | 9 | 57000 |
B | 10 | 16 | 68000 |
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元;
(2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员方案?
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【题目】如图,在坡角为33°的山坡上有一建筑物AB,其正前方矗立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的长为6米,落在广告牌上的影子CD的长为4米,求建筑物AB的高(AB,CD均与水平面垂直,参考数据:sin33°=0.54,cos33°=0.84,tan33°=0.65)
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【题目】某运动专营店为某厂家代销一款学生足球比赛训练鞋(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理),当每双鞋的售价为260元时,月销售量为63双为提高经营利润,该专营店准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现,每月的销售量y(双)与销售单价x(元/双)之间的函数关系如图所示综合考虑各种因素,每售出双鞋需支付厂家其他费用150元.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)该运动专营店要获取最大的月利润,售价应定为每双多少元?并说明理由.
(3)2019年3月底,该专营店老板清点了一下仓库,发现该款学生足球比赛训练鞋库存650双,若根据(2)中获得最大月利润的方式进行销售,12月底能否销售完这批学生足球比赛训练鞋?请说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,射线AG为⊙O的切线,点A为切点,点C为射线AG上任意一点,连接OC交⊙O于点E,过点B作BD∥OC交⊙O于点D,连接CD,DE,OD.
(1)求证:△OAC≌△ODC;
(2)①当∠OCA的度数为 时,四边形BOED为菱形;
②当∠OCA的度数为 时,四边形OACD为正方形.
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【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于点F,交⊙O于点D,连接AD、CD,∠E=∠ADC.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若BC=6,tanA =,求⊙O的半径.
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【题目】如图,二次函数与x轴、分别交于点A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.连接CA、CB.
(1)直接写出抛物线的顶点坐标 ;∠BCO= °;
(2)点P是抛物线对称轴上一个动点, 当PA+PC的值最小时,点P的坐标是 ;
(3)在(2)的条件下,以点O为圆心,OA长为半径画⊙O,点F为⊙O上的动点,值最小,则最小值是 ;
(4)点D是直线BC上方抛物线上的一点,是否存在点D使∠BCD=∠CAO-∠ACO,若存在,求出点D的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,﹣2),
(1)求这两个函数的关系式;
(2)观察图象,写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围;
(3)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积.
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