Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；

（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+1； （2）Q（1，﹣1）；（3）M（2，1）

【解析】

（1）由已知可求抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；

（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），由AB＝，所以（t﹣2）2+1＝2，求出B（1，0）或B（3，0），当B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，所以B（3，0），可证明△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，即可求Q（1，﹣1）；

（3）设顶点M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，则有b＝a2﹣a+1，因为P到直线l的距离等于PM，所以（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，可得+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，由a为任意值上述等式均成立，有，可求定点M的坐标．

解：（1）∵图象经过点C（0，1），

∴c＝1，

∵当x＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x＝2，

∴，解得：k＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；

（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），

∵AB＝，

∴（t﹣2）2+1＝2，

∴t＝1或t＝3，

∴B（1，0）或B（3，0），

∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，

∴B（3，0），

∴AC＝2，BC＝，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，

设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，

∴x＝1或x＝2（舍去），

∴Q（1，﹣1）；

（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，

∴b＝a2﹣a+1，

∵P到直线l的距离等于PM，

∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，

∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，

∵a为任意值上述等式均成立，

∴，

∴，

此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，

∴定点M（2，1）．