Question

如图1，点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足（a+b）²+（a-4）²=0．
（1）如图1，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，过D作DN⊥DM交x轴于点N，求S_△BDM-S_△ADN的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据（a+b）²+（a-4）²=0．即可求得a，b的值，根据AH⊥BC即可求得AH的解析式，即可解题；
（2）作OQ⊥AH，即可求得OQ=HQ，即可求得∠OHP=45°；
（3）设直线DN解析式为y=kx+b，代入D点可求得直线DM和DN的解析式，计算S_△BDM-S_△ADN的值即可解题．

解答：解：（1）∵（a+b）²+（a-4）²=0，∴a=4，b=-4，
∴B（0，-4），
∴直线BC解析式为y=-4x-4，
∵AH⊥BC，
∴直线AH斜率为

1

4

，
∵直线AH过A点，
∴直线AH解析式为y=

1

4

x-1，
∵点P横坐标为0，
∴点P纵坐标为-1，
∴点P坐标为（0，-1）．
（2）作OQ⊥AH，

∵OQ⊥AH，且直线OQ过O点，
∴OQ解析式为y=-4x，
∵直线AH解析式为y=

1

4

x-1，直线BC解析式为y=-4x-4，
设Q坐标为（x，-4x），则-4x=

1

4

x-1，解得：x=

4

17

∴交点Q坐标为（

4

17

，-

16

17

），
设H坐标为（x，

1

4

x-1），则

1

4

x-1=-4x-4，解得：x=-

12

17

，
∴点H坐标为（-

12

17

，-

20

17

），
∴QH=OQ，
∴∠OHP=45°；
（3）D点为AB中点，∴D（2，-2），
设直线DN解析式为y=kx+b，代入D点得b=-2-2k，
∴直线DN解析式为y=kx-2-2k，
∵直线DM⊥DN，代入D点得：直线DM解析式为y=-

1

k

x+

2

k

-2，
∴M点（0，

2

k

-2），N（

2

k

+2，0），
∴S_△BDM-S_△ADN=

1

2

×2（

2

k

-2+4）-

1

2

×2（

2

k

+2-2），
=

2

k

+2-

2

k

=2．

点评：本题考查了平面直角坐标系中线段长度的求解，考查了一次函数在平面直角坐标系中的运用，本题中根据一次函数求点的坐标是解题的关键．