Question

【题目】联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：

（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；

（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；

（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．

Answer 1

【答案】（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，如图1所示：点Q为△ABC的准外心；（2）准外心P在AC边上，PA的长为或2；（3）AD＝．

【解析】

（1）作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q即可；

（2）连接BP，由勾股定理得出AC=4，分三种情况讨论，由直角三角形的性质即可得出答案；

（3）由BD=BA=BC，得出∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，由圆周角定理得出∠ABD=2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由垂径定理得出DE=CECD，DF=AFAD，∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°，证明△BDF≌△CBE，得出DF=BE，设DF=x，则BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x．在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，

作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示：

则QA=QB，点Q为△ABC的准外心；

（2）连接BP，如图2所示：

∵△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，

∴AC4．

∵准外心P在AC边上，

①当PB=PC时，

设PB=x，则PC=x，PA=4﹣x，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2=x2，

解得：x，

∴PA=4；

②当PA=PC时，PAAC=2；

③当PA=PB时．

∵△ABC是直角三角形，∴此情况不存在．

综上所述：准外心P在AC边上，PA的长为或2；

（3）∵BD=BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示，则∠ABD=2∠ACD．

作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，

则DE=CECD，DF=AFAD，

∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°．

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE，

∴∠DBF=∠BCE．

在△BDF和△CBE中，∵，

∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF=BE．

设DF=x，则BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（）2=（4x）2，

解得：x，∴AD=2x．