Question

14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；
（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠FBH=∠EDG，
∵AE=CF，
∴BF=DE，
∵EG∥FH，
∴∠OHF=∠OGE，
∴∠BHF=∠DGE，
在△BFH和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBH=∠EDG}&{\;}\\{∠BHF=∠DGE}&{\;}\\{BF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：
连接DF，如图所示：
由（1）得：BFH≌△DEG，
∴FH=EG，
又∵EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵BF=DF，OB=OD，
∴EF⊥BD，
∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．