Question

如图，在△ABC，高线BE、AD相交于点O，∠BAE=45°．
（1）求证：OE=EC；
（2）连接OC，求证：OC⊥AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证AE=BE和∠OAE=∠CBE，即可证明△CBE≌△OAE，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）连接OC，延长CO叫AB于点F，根据（1）终结论可证∠EOC=45°，再根据∠BAE=45°可以求得∠ABE=45°，即可求得∠BFO=90°，即可解题．

解答：证明：（1）∵BE⊥AC，∠BAE=45°，
∴AE=BE，
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∠BOD=∠AOE，
∴∠OAE=∠CBE，
在△CBE和△OAE中，

∠OAE=∠CBE BE=AE ∠OEA=∠CEB=90°

，
∴△CBE≌△OAE（ASA），
∴OE=CE；
（2）连接OC，延长CO叫AB于点F，

∵OE=EC，∠BEC=90°，
∴∠EOC=45°，
∴∠BOF=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴∠BFO=180-∠ABE-∠BOF=90°，即CF⊥AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CBE≌△OAE是解题的关键．