Question

求

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

的最小值．（用两种方法解答）

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：

分析：先化简式子

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，利用函数的几何意义是x轴上的点（x，0）与点（-1，1），（2，4）距离之和求解即可．方法一运用（-1，1）关于x轴的对称点是（-1，-1）最小值即是（-1，-1）与（2，4）之间的距离求解，方法二（-1，1）关于x轴的对称点是（-1，-1），求出过（-1，-1）与（2，4）的直线，再求出直线与x轴的交点，利用最小值即是（-

2

5

，0）与（-1，1）的距离加上（-

2

5

，0）与（2，4）的距离求解即可．

解答：解：方法一：

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+1

+

(x-2)2+16

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，
函数的几何意义是x轴上的点（x，0）与点（-1，1），（2，4）距离之和，由图象可知，（-1，1）关于x轴的对称点是（-1，-1）最小值即是（-1，-1）与（2，4）之间的距离

(-1-2)2+(-1-4)2

=

34

．
方法二：

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+1

+

(x-2)2+16

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，
函数的几何意义是x轴上的点（x，0）与点（-1，1），（2，4）距离之和，由图象可知，（-1，1）关于x轴的对称点是（-1，-1），设过（-1，-1）与（2，4）的直线为y=kx+b，
代入得

-1=-k+b 4=2k+b

，解得

k= 5 3 b= 2 3

，所以直线为y=

5

3

x+

2

3

，交x轴于（-

2

5

，0），最小值即是（-

2

5

，0）与（-1，1）的距离加上（-

2

5

，0）与（2，4）的距离：

(-1+ 2 5 )2+12

+

(2+ 2 5 )2+42

=

34

．

点评：本题主要考查了无理函数的最值，解题的关键是能理清函数的几何意义．