Question

如图，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四条边上，并且四边形EFGH也是正方形，AB=4．
（1）AE长为多少时，正方形EFGH的面积最小，最小面积是多少？
（2）若AB=a呢？AE长为多少时，正方形EFGH的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

考点：正方形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得EH=HG，再根据同角的余角相等求出∠AHE=∠DGH，然后利用“角角边”证明△AHE和△DGH全等，根据全等三角形对应边相等可得DH=AE，然后表示出AH，再利用勾股定理列式求出EH²，即为正方形EFGH的面积，再利用二次函数的最值问题解答；
（2）将AB=4换成a，然后与（1）的求解方法相同．

解答：解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=GH，
∵∠AHE+∠DHG=∠DGH+∠DHG，
∴∠AHE=∠DGH，
在△AHE和△DGH中，

∠AHE=∠DGH ∠A=∠D=90° EH=HG

，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DH=AE，
设AE=x，
∵正方形ABCD的边长AB=4，
∴AH=4-x，
由勾股定理列式求出EH²=AE²+AH²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
即正方形EFGH的面积=2（x-2）²+8，
所以，当x=2，即AE=2时，正方形EFGH的面积最小，最小面积是8；

（2）由（1）可知，正方形EFGH的面积=x²+（a-x）²=2x²-2ax+a²=2（x-

1

2

a）²+

1

2

a²，
所以，当x=

1

2

a，即AE=

1

2

a时，正方形EFGH的面积最小，最小面积是

1

2

a²．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题，熟练掌握各性质并用AE的长度表示出正方形EFGH的面积是解题的关键．