Question

如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点D，E是CD上一点，BF交半圆于F．求证：BC²=BE•BF．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连结AC，AF，如图，先根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=∠AFB=90°，则根据相似三角形的判定得到Rt△BCD∽Rt△BAC，Rt△BDE∽Rt△△BFA，
再根据相似三角形的性质得BC：AB=BD：BC，BE：BA=BD：BF，然后化成等积式后易得BC²=BE•BF．

解答：证明：连结AC，AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴BC²=BD•BA，
∵∠EBD=∠ABF，
∴Rt△BDE∽Rt△△BFA，
∴BE：BA=BD：BF，
∴BE•BF=BD•BA，
∴BC²=BE•BF．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．