Question

如图，∠ACB=90°，AC=BC，F是AB上一点，连接CF，过点A、B分别作AD⊥CF于点D，BE⊥CF于点E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）已知AD=4，DE=1，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠CAD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE；
（2）根据（1）中结论可得CD=BE，AD=CE，易证△BEF∽△ADF，可得

BE

AD

=

EF

DF

，即可求得EF的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

∠BEC=∠ADC=90° ∠CAD=∠BCE BC=AC

，
∴△ACD≌△BCE（AAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴CD=BE，AD=CE，
∵AD=4，DE=1，
∴BE=CD=AD-DE=3，
∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴

BE

AD

=

EF

DF

=

3

4

，
∴EF=

1

4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例等于相似比的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．