Question

如图，四边形ABCD中，AC=CD，AB=2BC，∠BAC与∠B互余，CE∥BA，CE交AD于E，且CD²=CE²+DE²，求证：AD=

3

BC．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，首先求出∠BAC=30°；进而得到∠ECA=∠BAC=30°；证明△ACD为等边三角形，这是解决本题的关键；
得到AD=AC；证明AC=

3

BC，问题即可解决．

解答：解：如图，
∵∠BAC与∠B互余，
∴∠AB=90°；而AB=2BC，
∴∠BAC=30°；
∵CE∥BA，
∴∠ECA=∠BAC=30°；
∵CD²=CE²+DE²，
∴∠CED=90°；
在直角△ACE与直角△DCE中，
∵

AC=DC CE=CE

，
∴△ACE≌△DCE（HL），
∴∠DCE=∠ACE=30°，
∴∠ACD=60°，△ACD为等边三角形，
∴AC=AD；在直角△ABC中，
∵AB=2BC，
∴AC²=（2BC）²-BC²=3BC²，
∴AC=

3

BC，AD=

3

BC．

点评：该题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定及其性质、直角三角形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理的逆定理等知识来分析、解答．