Question

如图，已知△ABC的一个外角∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分线，且AD的反向延长线与△ABC的外接圆交于点F，连接FB、FC，且FC与AB交于E．
（1）判断△FBC的形状，并说明理由；
（2）请探索线段AB、AC与AF之间满足条件的关系式并说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用圆周角定理、圆内接四边形的性质证明∠FCB=∠FAB=60°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，首先证明△AGC为等边三角形；进而证明△ACF≌△GCB，得到AF=BG，问题即可解决．

解答：解：（1）△FBC为等边三角形．理由如下：
∵∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分线，
∴∠CAD=∠MAD=60°；
∴∠FBC=∠CAD=60°，∠FAB=∠MAD=60°；
∴∠FCB=∠FAB=60°，
∴△FBC是等边三角形．

（2）在线段AB上截取AG，使AG=AC，连接CG；
∵∠GAC=∠BFC=60°，
∴△AGC为等边三角形，AC=GC；∠ACG=60°；
∵∠BCF=60°，
∴∠ACF=∠GCB；在△ACF与△GCB中，

AC=GC ∠ACF=∠GCB CF=CB

，
∴△ACF≌△GCB（SAS），
∴AF=BG，
∴AB=AC+AF．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、等边三角形的判定、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．