Question

2．设AM是△ABC中BC边上的中线，任作一条直线分别交AB，AC，AM于P，Q，N，求证：$\frac{2AM}{AN}$=$\frac{AB}{AP}$+$\frac{AC}{AQ}$．

Answer 1

分析 过B作BD∥PQ，过C作CE∥PQ，分别交直线AM于D、E，得到BD∥CE，根据平行线的性质得到∠BDM=∠CEM，推出△BDM≌△CEM（AAS），根据全等三角形的性质得到MD=ME，根据平行线分线段成比例得到∴$\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AN}$，$\frac{AC}{AQ}=\frac{AE}{AN}$，于是得到$\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=\frac{AE+AD}{AN}$，根据线段的和差得到AE=AM+ME，AD=AM-MD，于是得到结论．

解答 证明：过B作BD∥PQ，过C作CE∥PQ，分别交直线AM于D、E，
∴BD∥CE，
∴∠BDM=∠CEM，在△BDM与△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠CEM}\\{DM=EM}\\{∠BMD=∠CME}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CEM（AAS），
∴MD=ME，
∵PQ∥BD，PQ∥CE
∴$\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AN}$，$\frac{AC}{AQ}=\frac{AE}{AN}$，
∴$\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=\frac{AE+AD}{AN}$，
∵AE=AM+ME，AD=AM-MD
∴AE+AD=2AM
∴$\frac{2AM}{AN}$=$\frac{AB}{AP}$+$\frac{AC}{AQ}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．