Question

（本小题满分8分）如图，抛物线交x轴于A、B两点，顶点为C，经过A、B、C三点的圆的圆心为M.
⑴ 求圆心M的坐标；
⑵ 求⊙M上劣弧AB的长；
⑶ 在抛物线上是否存在一点D，使线段OC和MD互相平分？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：⑴3分 ，∵    ∴
∴对称轴为，顶点（1，-3）
又∵抛物线与轴交点（，0）、（，0）
∴
作抛物线对称轴交于点，则（1，0）
∴圆心在对称轴上，连接
∵⊙中，
∴
设⊙半径为，则
∵（1，-3）
∴
∴
∵中
∴ 解得
∴
∵
∴圆心的坐标为（1，-1）
⑵3分，∵△BMN中，∠MNB＝90°，，
∴
∴∠NMB＝60°
∴∠AMB＝2∠NMB＝120°
∴⊙M上劣弧AB的长为
⑵ 2分，若线段OC和MD互相平分，则四边形必定是平行四边形
∴且
∵
∴点即为点向下平移2个单位得点
∴点坐标为（0，-2）

这是一道关于圆与二次函数的综合题，有一定的难度，需要学生对所学知识综合利用。