Question

5．把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）求证：△A′DE≌△DCF．
（2）若BC=8，AB=4，求AE的长．
（3）若BC=8，AB=4，求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质得到∠A′DF=90°，然后可证明∠A′DE=∠CDF，然后依据ASA证明两个三角形全等即可；
（2）设AE=x，由翻折的性质可知A′E=AE=x，则ED=8-x．在Rt△EA′D中，由勾股定理列出关于x的方程求解即可；
（3）过点E作EG⊥BC，垂足为G．然后依据（1）（2）中的结论可求得FG和EG的长，最后在Rt△EFG中，依据勾股定理可求得EF的长．

解答 解：（1）由翻折的性质可知∠B=∠A′DF=90°，∠A=∠A′．
∵∠A′DE+∠EDF=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A′DE=∠CDF．
在△A′DE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′DE=∠CDF}\\{A′D=DC}\\{∠A′=C=90°}\end{array}\right.$
∴△A′DE≌△DCF．
（2）设AE=x，由翻折的性质可知A′E=AE=x，则ED=8-x．
在Rt△EA′D中，由勾股定理可知：EA²+A′D²=DE²，即x²+4²=（8-x）²．
解得：x=3．
∴AE=3．
（3）如图所示：过点E作EG⊥BC，垂足为G．

由（1）可知△A′DE≌△DCF，
∴FC=A′E．
由（2）可知AE=A′E=3．
∴FC=3，CG=5．
∴FC=2．
在Rt△EFG中，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．