Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（　　）

A．π﹣2     B．π    C．π   D．π﹣2

　

Answer 1

C【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S_阴影=S_扇形ABA′+S_△A′BC′﹣S_△ABC﹣S_扇形CBC′=S_扇形ABA′﹣S_扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=2OA=2OB=AC=2，

∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，

∴BA′=AB，

∴BA′=2OB，

∴∠OA′B=30°，

∴∠A′BA=60°，

即旋转角为60°，

S_阴影=S_扇形ABA′+S_△A′BC′﹣S_△ABC﹣S_扇形CBC′，

=S_扇形ABA′﹣S_扇形CBC′，

=﹣，

=π﹣π，

=π．

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．