【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F.
(1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长;
(3)在(2)的条件下:
①连接DF,求tan∠FDE的值;
②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:如图1,
∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,
∴,
解得.
∴抛物线解析式为y=x2+x+3;
(2)
解:如图2,
∵点F恰好在抛物线上,C(0,3),
∴F的纵坐标为3,
把y=3代入y=x2+x+3得,3=x2+x+3;
解得x=0或x=4,
∴F(4,3),
∴OH=4,
∵∠CDE=90°,
∴∠ODC+∠EDH=90°,
∴∠OCD=∠EDH,
在△OCD和△HDE中,
,
∴△OCD≌△HDE(AAS),
∴DH=OC=3,
∴OD=4﹣3=1;
(3)
解:①如图3,连接CE,
∵△OCD≌△HDE,
∴HE=OD=1,
∵BF=OC=3,
∴EF=3﹣1=2,
∵∠CDE=∠CFE=90°,
∴C、D、E、F四点共圆,
∴∠ECF=∠EDF,
在RT△CEF中,∵CF=OH=4,
∴tan∠ECF===,
∴tan∠FDE=;
②如图4,连接CE,
∵CD=DE,∠CDE=90°,
∴∠CED=45°,
过D点作DG1∥CE,交直线l于G1,过D点作DG2⊥CE,交直线l于G2,则∠EDG1=45°,∠EDG2=45°
∵EH=1,OH=4,
∴E(4,1),
∵C(0,3),
∴直线CE的解析式为y=x+3,
设直线DG1的解析式为y=x+m,
∵D(1,0),
∴0=×1+m,解得m=,
∴直线DG1的解析式为y=x+,
当x=4时,y=+=,
∴G1(4,);
设直线DG2的解析式为y=2x+n,
∵D(1,0),
∴0=2×1+n,解得n=﹣2,
∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2,
当x=4时,y=2×4﹣2=6,
∴G2(4,6);
综上,在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°,点G的坐标为(4,)或(4,6).
【解析】(1)利用待定系数法求得即可;
(2)根据C的纵坐标求得F的坐标,然后通过△OCD≌△HDE,得出DH=OC=3,即可求得OD的长;
(3)①先确定C、D、E、F四点共圆,根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF,由于tan∠ECF===,即可求得tan∠FDE=;
②连接CE,得出△CDE是等腰直角三角形,得出∠CED=45°,过D点作DG1∥CE,交直线l于G1 , 过D点作DG2⊥CE,交直线l于G2 , 则∠EDG1=45°,∠EDG2=45°,求得直线CE的解析式为y=﹣x+3,即可设出直线DG1的解析式为y=﹣x+m,直线DG2的解析式为y=2x+n,把D的坐标代入即可求得m、n,从而求得解析式,进而求得G的坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,CD=1,∠DBC=30°.若将BD绕点B旋转后,点D落在DC延长线上的点E处,点D经过的路径 ,则图中阴影部分的面积是( )
A. ﹣
B. ﹣
C. ﹣
D. ﹣
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,以AD为直径作⊙O,连接BO并延长至E,使得OE=OB,连接AE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若BD=AD=4,求阴影部分的面积.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠0)图象的一部分,对称轴是直线x=﹣2.关于下列结论:①ab<0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c<0;④b﹣4a=0;⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0,x2=﹣4,其中正确的结论有( )
A.①③④
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤
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【题目】为支援灾区,某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件.已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元,用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同.
(1)求A、B两种学习用品的单价各是多少元?
(2)若购买这批学习用品的费用不超过28000元,则最多购买B型学习用品多少件?
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【题目】校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学,对同学们喜爱的四种“明星真人秀”节目进行问卷调查(每位同学只能选择一种最喜爱的节目),并将调查结果整理后分别绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图).
请根据所给信息回答下列问题:
(1)本次问卷调查共调查了多少名学生?
(2)请将两幅统计图补充完整;
(3)若该校有1500名学生,据此估计有多少名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,⊙A与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是( )
A.(5,4)
B.(4,5)
C.(5,3)
D.(3,5)
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【题目】2015年5月,某校组织了以“德润书香”为主题的电子小报制作比赛,评分结果只有60,70,80,90,100五种,现从中随机抽取部分作品,对其份数和成绩进行整理,制成如下两幅不完整的统计图:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求本次抽取了多少份作品,并补全两幅统计图;
(2)已知该校收到参赛作品共900份,比赛成绩达到90分以上(含90分)的为优秀作品,据此估计该校参赛作品中,优秀作品有多少份?
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【题目】从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米,乘坐普通列车的路程为240千米.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍.高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时.高速列车的平均速度是每小时多少千米?
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