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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F.

(1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长;
(3)在(2)的条件下:
①连接DF,求tan∠FDE的值;
②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:如图1,

∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,

解得

∴抛物线解析式为y=x2+x+3;


(2)

解:如图2,

∵点F恰好在抛物线上,C(0,3),

∴F的纵坐标为3,

把y=3代入y=x2+x+3得,3=x2+x+3;

解得x=0或x=4,

∴F(4,3),

∴OH=4,

∵∠CDE=90°,

∴∠ODC+∠EDH=90°,

∴∠OCD=∠EDH,

在△OCD和△HDE中,

∴△OCD≌△HDE(AAS),

∴DH=OC=3,

∴OD=4﹣3=1;


(3)

解:①如图3,连接CE,

∵△OCD≌△HDE,

∴HE=OD=1,

∵BF=OC=3,

∴EF=3﹣1=2,

∵∠CDE=∠CFE=90°,

∴C、D、E、F四点共圆,

∴∠ECF=∠EDF,

在RT△CEF中,∵CF=OH=4,

∴tan∠ECF===

∴tan∠FDE=

②如图4,连接CE,

∵CD=DE,∠CDE=90°,

∴∠CED=45°,

过D点作DG1∥CE,交直线l于G1,过D点作DG2⊥CE,交直线l于G2,则∠EDG1=45°,∠EDG2=45°

∵EH=1,OH=4,

∴E(4,1),

∵C(0,3),

∴直线CE的解析式为y=x+3,

设直线DG1的解析式为y=x+m,

∵D(1,0),

∴0=×1+m,解得m=

∴直线DG1的解析式为y=x+

当x=4时,y=+=

∴G1(4,);

设直线DG2的解析式为y=2x+n,

∵D(1,0),

∴0=2×1+n,解得n=﹣2,

∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2,

当x=4时,y=2×4﹣2=6,

∴G2(4,6);

综上,在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°,点G的坐标为(4,)或(4,6).


【解析】(1)利用待定系数法求得即可;
(2)根据C的纵坐标求得F的坐标,然后通过△OCD≌△HDE,得出DH=OC=3,即可求得OD的长;
(3)①先确定C、D、E、F四点共圆,根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF,由于tan∠ECF===,即可求得tan∠FDE=
②连接CE,得出△CDE是等腰直角三角形,得出∠CED=45°,过D点作DG1∥CE,交直线l于G1 , 过D点作DG2⊥CE,交直线l于G2 , 则∠EDG1=45°,∠EDG2=45°,求得直线CE的解析式为y=﹣x+3,即可设出直线DG1的解析式为y=﹣x+m,直线DG2的解析式为y=2x+n,把D的坐标代入即可求得m、n,从而求得解析式,进而求得G的坐标.

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