Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD//OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BE＝4，DE＝8，

①求CD的长；

②连接BC交AD于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①CD＝12；② ．

【解析】

（1）连接OD，由直径所对的圆周角为直角及切线的性质，可得∠CAB=90°=∠ADB，从而可判定△AOC≌△DOC（SAS），由全等三角形的性质可得∠CDO=90°，从而由切线的判定定理可得答案；

（2）①设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，由勾股定理解得r，再由平行线截线段成比例定理可得比例式，从而求得CD的长；

②由CO∥BD，可判定△BDF∽△CGF；△EBD∽△EOC，从而可得比例式，结合相似三角形的性质可得答案．

（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，

∴∠CAB＝90°＝∠ADB，

∵OD＝OB，

∴∠DBO＝∠BDO，

∴CO//BD，

∴∠AOC＝∠COD，且AO＝OD，CO＝CO，

∴△AOC≌△DOC（SAS），

∴∠CAO＝∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD，且OD是半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）①设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，

在Rt△ODE中，

∵

∴，

解得r＝6，

∴OB＝6，

∵CO//BD，

∴，

∴CD＝12；

②∵CO//BD，

∴△BDF∽△CGF；△EBD∽△EOC．

∴

设OG＝x，

∵OG为△ABD的中位线，

∴BD＝2OG＝2x，

BE＝4，

OE＝10，

∴OC＝5x，CG＝4x，

∴