Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=5，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求FA的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD、BD，证明∠ODE=90°问题即可解决．
（2）连接OE，根据勾股定理和射影定理求出AD、OE的长度；证明△ADF∽△OEF，列出关于线段AF的方程，解方程即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OD，BD；
∵AB为⊙O，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
又∵点E是BC的中点，
∴EB=ED，∠EDB=∠EBD；
又∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）如图，连接OE；
由勾股定理：AC²=4²+5²=41，
∴AC=

41

；
由射影定理得：AB²=AD•AC，
∴AD=

16

41

；
由题意得：AO=BO=2，BE=

5

2

，
根据勾股定理：OE2=22+2．52=

41

4

，
∴OE=

41

2

；
∵AO=BO，CE=BE，
∴AD∥OE，
∴△ADF∽△OEF，
∴

AD

OE

=

AF

AF+OA

，
将AD=

16

41

，OE=

41

2

，AO=2代入上式并解得：AF=

64

9

．

点评：该命题主要考查了切线的判定、勾股定理、平行线的判定、相似三角形的判定及其应用等重要几何知识点问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、解答．