Question

4．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点C．已知A（3，0），D（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）设△AOC沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOC与△ABC重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，求s的最大值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），然后将点C的坐标代入求得a的值即可，然后利用配方法可求得点B的坐标；
（2）过点C作射线CF∥x轴交AB于点F，先求得直线AB的解析式，然后求得点F的坐标，当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，如图1所示，依据S=S_△MND-S_△GNA-S_△HAD可求得S与t的函数关系式，当$\frac{3}{2}$＜x≤3，如图2所示：由S=S_△IVA，从而可求得S与t的函数关系式；
（3）利用配方法求得函数的最大值即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1）．
∵将C（0，3）代入得：-3a=3，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴B（1，4）．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将A（3，0），B（1，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴y=-2x+6．
过点C作射线CF∥x轴交AB于点F．
∵将y=3代入直线AB的解析式得：-2x+6=3，得x=$\frac{3}{2}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，3）．
当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图1所示．

设△AOC平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AP=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交CF于点L．由△AHP∽△FHM，得
$\frac{AP}{FM}=\frac{HK}{HL}$，即$\frac{t}{\frac{3}{2}-t}=\frac{HK}{3-HK}$．
解得HK=2t
．∴S=S_△MND-S_△GNA-S_△HAD=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（3-t）²-$\frac{1}{2}$t×2t=-$\frac{3}{2}$t²+3t…（6分）
②当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，如图2所示：

设△AOC平移到△PQR的位置，RQ交AB于点I，交AC于点V．
∵直线AC的解析式为：y=-x+3，直线 AB的解析式为：y=-2x+6
∴V（t，t+3），I（t，-2t+6）
∴IV=-2t+6-（-t+3）=-t+3，AQ=3-t．
∴S=S_△IVA=$\frac{1}{2}$AQ点IV=$\frac{1}{2}$（3-t）2=$\frac{1}{2}$t2-3t+$\frac{9}{2}$（$\frac{3}{2}$＜t≤3）．
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}（\frac{3}{2}＜t≤3）}\end{array}\right.$．
（3）当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，S=-$\frac{3}{2}$t²+3t=-$\frac{3}{2}$（t-1）²+$\frac{3}{2}$
当t=1时，S最大=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标以及二次函数的最大值、相似三角形的性质和判定，求得KH的长（用含t的式子表示）是解题的关键．