Question

14．如图，已知?ABCD的对角线AC和BD交于点O，∠BAC=∠BCA，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形OEDC是矩形；
（2）当∠BCA=60°，BC=4$\sqrt{3}$时，求tan∠EBC的值．

Answer 1

分析 （1）易证四边形ABCD是菱形，由菱形的性质可知AC⊥BD，再由CE∥BD，DE∥AC，即可证明四边形OEDC是矩形；
（2）过点E作EF垂直BC交BC延长线于点F，易求∠ECF=30°，由含30°的直角三角形性质可求出EF，CF的长，进而由正切的定义即可求出tan∠EBC的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴AB=CD=AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE=90°，
同理可得∠ODE=90°，
∴四边形OEDC是矩形；
（2）解：过点E作EF垂直BC交BC延长线于点F，
∵∠BCA=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠ECF=120°-90°=30°，
∵BC=4$\sqrt{3}$，
∴BO=OD=6，
∴OD=CE=6，
∴EF=3，CF=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠EBC=$\frac{EF}{BF}=\frac{3}{4\sqrt{3}+3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．