Question

19．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax²+bx+c过点D，B，C三点．
（1）请直接写出点B、D的坐标：B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求证：ED是⊙P的切线；
（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）先确定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2$\sqrt{3}$，可得D（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）利用交点式，待定系数法可求抛物线的解析式；
（3）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定可得△AED∽△COD，根据相似三角形的性质和圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线；
（4）利用配方得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．

解答 解：（1）∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$）．
故答案为：-4，0；0，2$\sqrt{3}$．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
∵∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；
（4）存在．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
∵B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点B，则点M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点M，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点B，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
综上所述，点N的坐标为（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）、（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线．