Question

10．已知，如图长方形ABCD中，AB=a，AD=b，且a、b满足b=$\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$+9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
（1）求a，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）求折痕为EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式有意义的条件即可解决问题．
（2）设ED=BE=x，在RT△ABE中利用勾股定理求出x，即可解决问题．
（3）连接BD交EF于O，只要证明EF=2EO，在RT△EDO中利用勾股定理即可求出EO．

解答 解：（1）∵b=$\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$+9，
∴a-3≥0，6-2a≥0，
∴a=3，b=9．
（2）设ED=EB=x，则AE=9-x，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°
在RT△ABE中，∵AB²+AE²=BE²，
∴3²+（9-x）²=x²，
∴x=5，
∴AE=4，BE=ED=5，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
（3）连接BD交EF于O，
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴BO=OD=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
在RT△EOD中，EO=$\sqrt{E{D}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵DA∥CB，
∴$\frac{EO}{OF}=\frac{DO}{BO}$=1，
∴EO=OF，
∴EF=2EO=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查翻折变换、非负数的性质、勾股定理等知识，解题关键是利用翻折不变性，设未知数利用勾股定理列出方程解决，学会转化的思想，属于中考常考题型．