Question

11．已知，AB∥CD，点P为AB、CD之间一点，连接AC．

（1）如图1，若AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求证：AP⊥CP；
（2）如图2，若∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°，∠ACP=5∠PAC，延长AP交CD于点E，试探究∠PAC与∠AEC之间的数量关系，并说明理由．
（注意：本题不允许使用三角形内角和为180°）

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，再根据平行线的性质可得∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE，再由角平分线的性质可得∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACD，由AB∥CD可得∠BAC+∠ACD=180°，进而可得∠APE+∠CPE=90°，进而可得AP⊥CP；
（2）由（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP，由∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°可得∠BAP的度数，进而可得∠PCD的度数，再根据∠ACP=5∠PAC计算出∠PAC=15°，再根据AB∥CD，可得∠BAP=∠AEC=30°，进而可得2∠PAC=∠AEC．

解答 解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACD）=90°，
∴AP⊥CP；

（2）2∠PAC=∠AEC，
同（1）可证∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°，
∴∠BAP+2∠BAP=90°，
∴∠BAP=30°，∠PCD=60°，
∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACP+∠PAC=90°，
∵∠ACP=5∠PAC，
∴5∠PAC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=15°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠AEC=30°，
∴2∠CAP=∠AEC．

点评 此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是正确理清图中角之间的关系，掌握两直线平行，同旁内角相等．