Question

3．如图，已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=5，BO=3，点E、M是线段AB上的两个不同的动点（不与端点重合），分别过E、M作AO的垂线，垂足分别为K、L．
①△OEK面积S的最大值为$\frac{15}{8}$；
②若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF，当EM⊥OF时，OK+OL=$\frac{45}{17}$．

Answer 1

分析 ①根据条件证明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可；
②根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案．

解答 解：①∵EK⊥OA，∠AOB=90°，
∴△OBA∽△KEA．
∴$\frac{OB}{KE}$=$\frac{OA}{KA}$，
∴$\frac{3}{KE}=\frac{5}{5-OK}$，
∴KE=$\frac{3（5-OK）}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×OK•KE=$\frac{3OK（5-OK）}{10}$，
设OK=x，则S=$\frac{3x（5-x）}{10}$=-$\frac{3（{x}^{2}-5x）}{10}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{15}{8}$；
②解：当EM⊥OF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为$\frac{15\sqrt{34}}{34}$＜OE＜3，
设OK=a，OL=b，
由（1）得，KE=$\frac{3（5-a）}{5}$，ML=$\frac{3（5-b）}{5}$，
由OE=OM得a²+[$\frac{3（5-a）}{5}$]²=b²+[$\frac{3（5-b）}{5}$]²．
设y=x²+[$\frac{3（5-x）}{5}$]²=$\frac{34}{25}$x²-$\frac{18}{5}$x+9，
则当x₁=a，x₂=b时，函数y的值相等．
函数y的对称轴为直线x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
即$\frac{a+b}{2}$=$\frac{45}{34}$
解得a+b=$\frac{45}{17}$，即OK+OL=$\frac{45}{17}$．
故答案为：$\frac{15}{8}$，$\frac{45}{17}$．

点评 本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力．