Question

14．如图，一组抛物线的顶点A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…A_n（x_n，y_n）（n为正整数）依次是反比例函数y=$\frac{9}{x}$图象上的点，第一条抛物线以A₁（x₁，y₁）为顶点且过点O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁为第一个三角形；第二条抛物线以A₂（x₂，y₂）为顶点且经过点B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂为第二个三角形；第三条抛物线以A₃（x₃，y₃）为顶点且过点B₂（4，0），B₃（6，0），等腰△A₃B₂B₃为第三个三角形；按此规律依此类推，…；第n条抛物线以A_n（x_n，y_n）为顶点且经过点B_n-1，B_n，等腰△A_nB_n-1B_n为第n个三角形．
（1）求出A₁的坐标；
（2）求出第一条抛物线的解析式；
（3）请直接写出A_n的坐标（2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性和反比例函数图象上点的坐标特征易求得到A₁（1，9）；
（2）设第一个抛物线解析式为y=a（x-1）²+9，把O（0，0）代入该函数解析式即可求得a的值；
（2）根据抛物线的对称性和反比例函数图象上点的坐标特征易求得到A₂（3，3），A₃（5，$\frac{9}{5}$），根据规律即可得出A_n的坐标．

解答 解：（1）∵第一条抛物线过点O（0，0），B₁（2，0），
∴该抛物线的对称轴是x=1．
又∵顶点A₁（x₁，y₁）在反比例函数y=$\frac{9}{x}$图象上，
∴y₁=9，
即A₁（1，9）；
（2）设第一个抛物线为y=a（x-1）²+9（a≠0），
把点O（0，0）代入，得到：0=a+9，
解得 a=-9．
所以第一条抛物线的解析式是y=-9（x-1）²+9；

（3）第一条抛物线的顶点坐标是A₁（1，9），
第二条抛物线的顶点坐标是A₂（3，3），
第三条抛物线的顶点坐标是A₃（5，$\frac{9}{5}$），
由规律可知A_n （2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．
故答案为：（2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．整个解题过程，利用抛物线的对称轴和反比例函数图象上的坐标特征来求相关点的坐标和相关线段的长度是解题的关键，此题综合性强，有一定的难度．