Question

【题目】一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC

（1）求△ABC的面积和点C的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（a， ），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y=﹣ x+1与x轴、y轴交于A、B两点，

∴A（ ，0），B（0，1）．

∵△AOB为直角三角形，

∴AB=2．

∴S△ABC= ×2×sin60°= ．

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴OA= ，OB=1，

∴tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴C（1，2）

（2）

解：如图1，

S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + a．

∵P在第二象限，

∴a＜0

∴S四边形ABPO= ﹣ =

（3）

解：如图2，

设点M（m，0），

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴AM2=（m﹣ ）2，MB2=m2+1，AB=2，

∵△MAB为等腰三角形，

∴①MA=MB，

∴MA2=MB2，

∴（m﹣ ）2=m2+1，

∴m= ，

∴M（ ，0）

②MA=AB，

∴MA2=AB2，

∴（m﹣ ）2=4，

∴m= ±2，

∴M（ +2，0）或（ ﹣2，0）

③MB=AB，

∴MB2=AB2，

∴m2+1=4，

∴m= （舍）或m=﹣ ．

∴M（﹣ ，0）．

∴满足条件的M的坐标为（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）

【解析】（1）首先令x=0，y=0求出一次函数的解析式．然后根据勾股定理求出AB的长，继而可求出三角形ABC的面积．（2）依题意可得出S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP ． （3）设出点M的坐标，分三种，列方程即可得出结论．