Question

20．抛物线y=-x²+（m-1）x+m．
（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）
（3）S_△ABC=3，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先列出三角形的代数式，然后利用配方法证明△≥0即可；
（2）令x=0可求得点C的坐标，令y=0求得方程的解，从而可求得点A、B的坐标；
（3）利用三角形的面积求得m的值从而可求得抛物线的解析式．

解答 解：（1）∵△=（m-1）²-4×1×m=（m+1）²≥0
∴无论m为何值这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）∵令x=0得：y=m，
∴点C的坐标为（0，m）．
∵令y=0得；-x²+（m-1）x+m=0，解得：x=-1或x=m，
∴A（-1，0）B（m，0）．
（3）由上题可得|AB|=|m+1|，OC=|m|，
∵SS_△ABC=3，
∴|m+1||m|=6．
解得：m=-3，m=2．
∴y=-x²-4x-3或y=-x²+x+2．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，由-x²+（m-1）x+m=0解得x=-1或x=m是解题的关键．