Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，点B落到AD上的点B₁处得△A₁B₁C，点E是AB₁的中点，连接A₁E，求证：
（1）∠B₁CB=60°；
（2）A₁E∥BC．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接BB₁，如图，先根据等腰三角形的性质证明AD垂直平分BC，得到B₁B=B₁C，再利用旋转的性质得到CB₁=CB，于是可证明△B₁BC为等边三角形，
然后根据等边三角形的性质可得∠B₁CB=60°；
（2）先根据旋转的性质得∠A₁CA=∠B₁CB=60°，CA₁=CA，AB=A₁B₁，则可判断△AA₁C为等边三角形，得到CA=AA₁，加上AB=AC，所以AA₁=A₁B₁，由于点E是AB₁的中点，根据等腰三角形的性质得到A₁E⊥AB₁，然后利用平行线的性质可得到结论．

解答：证明：（1）连接BB₁，如图，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴B₁B=B₁C，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转，点B落到AD上的点B₁处得△A₁B₁C，
∴CB₁=CB，
∴B₁B=B₁C=BC，
∴△B₁BC为等边三角形，
∴∠B₁CB=60°；
（2）∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转，点B落到AD上的点B₁处得△A₁B₁C，
∴∠A₁CA=∠B₁CB=60°，CA₁=CA，AB=A₁B₁，
∴△AA₁C为等边三角形，
∴CA=AA₁，
而AB=AC，
∴AA₁=A₁B₁，
而点E是AB₁的中点，
∴A₁E⊥AB₁，
∵BC⊥AD，
∴A₁E∥BC．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．