Question

10．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上的点（不与B，C重合），F为CD边上的点（不与C，D重合），且AE=AF，AB=4，设△AEF的面积为y，EC的长为x，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 首先求出Rt△ABF≌Rt△ADE，进而得出△AEF的面积为：y=16-S_△ABF-S_△ADE-S_△EFC即可．

解答 解：∵在正方形ABCD中，
∴AB=AD，
∵AE=AF，
∴在Rt△ABF和Rt△ADE中
∵$\left\{\begin{array}{l}AE=AF\\ AB=AD\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF=DE，
∵EC的长为x，
∴FC=x，BF=4-x，DE=4-x，
∴△AEF的面积为：
y=16-S_△ABF-S_△ADE-S_△EFC
=16-$\frac{1}{2}$×4（4-x）-$\frac{1}{2}$×4（4-x）-$\frac{1}{2}$x²
=-$\frac{1}{2}$x²+4x（0＜x＜4）．

点评 此题主要考查的是全等三角形的判定与性质，三角形面积求法等，根据已知得出y=16-S_△ABF-S_△ADE-S_△EFC是解题关键．