Question

17．如图，AB∥CD，P₁、P₂、P₃是AB与CD之间的点，且它们与A、B可组成一个凸多边形的顶点．
（1）在图（1）中，求∠A+∠P₁+∠C的度数；
（2）在图（2）中，求∠A+∠P₁+∠P₂+∠C的度数；
（3）直接写出图（3）中，∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠C的度数；如果在AB与CD之间有如图所示的P₁、P₂、P₃，…，P_n这样的n个点，试求∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…+∠P_n+∠C的度数（结果用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据三角形的内角和定理可知∠CAP₁+∠P₁+∠P₁CA=180°，再由AB∥CD可得出∠BAC+∠ACD=180°，把两式相加即可；
（2）连接AC，同（1）可得∠CAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CA=360°，再由∠BAC+∠ACD=180°可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的结论可得出规律．

解答 解：（1）如图1，连接AC，则∠CAP₁+∠P₁+∠P₁CA=180°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAP₁+∠P₁+∠P₁CD=180°+180°=360°；

（2）如图2，连接AC，则∠CAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CA=360°．
∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CD=360°+180°=540°．

（3）如图3，连接AC，∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠C=720°．
当AB与CD之间有P₁、P₂、P₃…P_n个这样的n个点时，连接AC，则多边形AP₁P₂P₃…P_nC是（n+2）边形，
∴∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…+∠P+∠C
=[（n+2）-2]×180°+180°=（n+1）×180°．
[另解]由以上可知，当AB与CD之间有1个点时，所求角的和为（1+1）×180°；
当AB与CD之间有2个点时，所求角的和为（2+1）×180°；
当AB与CD之间有3个点时，所求角的和为（3+1）×180°
当故AB与CD之间有n个点时，所求角的和为（n+1）×180°．
[解法二]（1）如图（4），过点P₁作P₁Q₁∥AB，则AB∥P₁Q₁∥CD，
∴所求角的度数和=180°×2=360°；

（2）如图（5），分别过点P1P2作P₁Q₁∥AB，P₂Q₂∥AB，则AB∥P₁Q₁∥P₂Q₂∥CD，
∴所求角的度数和=180°×3=540°；

（3）同法可得，所求角的度数和=180°×4=720°，
由此类推，当AB与CD之间有P₁、P₂、P₃…P_n这样的n个点时，分别过这n个点作AB的平行线，可得到（n+1）对互补的同旁内角．
∴这时所求角的度数和=（n+1）×180°．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．