Question

9．如图，CD为△ABC的角平分线，CD=2$\sqrt{2}$，若∠ACB=90°，△ABC的面积为10，则AB的长为2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AC于E，DF⊥B于F，由于CD为△ABC的角平分线，于是得到DE=DF，由CD=2$\sqrt{2}$，得到DE=DF=2，根据三角形的面积得到$\frac{1}{2}$AC•DE$+\frac{1}{2}$BC•DF=AC+BC=10，$\frac{1}{2}$AC•BC=10，于是求得AC²+BC²=60，即可求得结果．

解答 解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥B于F，
∵CD为△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠DCF=45°，
∵CD=2$\sqrt{2}$，∴DE=DF=2，
∵△ABC的面积为10，
∴$\frac{1}{2}$AC•DE$+\frac{1}{2}$BC•DF=AC+BC=10，$\frac{1}{2}$AC•BC=10，
∴（AC+BC）²=AC²+BC²+2AC•BC=100，
∴AC²+BC²=60，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{15}$．
故答案为：2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形面积，正确的周长辅助线是解题的关键．