Question

19．如图，线段AB∥CD，AB=CD=$\sqrt{10}$，连接AC，E、F是AC上的两点，且BE∥DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE⊥AC，且$BE=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{\frac{49}{2}}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△ABE与△CDF全等即可；
（2）根据勾股定理得出AE的长，再利用全等三角形的性质得出AE=CF解答即可．

解答 解：（1）∵AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFE，
即∠BEC=∠CAB+∠ABE，DFE=∠DCF+∠FDC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FCD}\\{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵BE⊥AC，且$BE=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{\frac{49}{2}}$，AB=CD=$\sqrt{10}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{10-8}=\sqrt{2}$，
∴EF=AC-2AE=$\sqrt{\frac{49}{2}}-2×\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出△ABE≌△CDF是解题关键．