Question

【题目】一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：AD＝DE

（1）理清思路，完成解答

本题证明思路可以用下列框图表：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；

（2）特殊位置，计算求解

当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；

（3）知识迁移，探索新知

当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）3．

【解析】

（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；

（2）解直角三角形求出AD即可解决问题．

（3）只要证明∠BAD＝90°，利用勾股定理求出AD，再证明△ADE是等边三角形即可解决问题．

（1）证明：如图①中，过点D作DF∥AC，交AB于点F．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°，

又∵DF∥AC，

∴∠BDF＝∠BFD＝60°，

∴△BDF是等边三角形，BF＝BD，∠BFD＝60°，

∴AF＝CD，∠AFD＝120°，

∵EC是外角的平分线，

∠DCE＝120°＝∠AFD，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B+∠FAD＝60°+∠FAD，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC，

∴∠FAD＝∠EDC，

在△AFD≌△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD＝DE．

（2）如图②中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝6，

∵BD＝DC＝3，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴AD＝＝3，

由（1）可知：DE＝AD＝3．

（3）如图3中，

∵CA＝CD＝CB＝2，

∴∠BAD＝90°，

∴AD＝＝2，

∵∠ADE＝60°，∠ADB＝30°，

∴∠BAD＝∠EDC＝90°，

∵ECD＝60°，

∴DE＝CDtan60°＝2，

∴AD＝DE，

∴△ADE是等边三角形，

∴S△ADE＝×（2）2＝3．