Question

【题目】如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F.

（1）求证：△BDF 是等腰三角形；

（2）如图 2，过点 D 作 DG∥BE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O.

①判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由；

②若 AB=6，AD=8，则 FG 的长为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：（1）证明△BDF是等腰三角形，可证明BF=DF，可通过证明∠EBD=∠FDB实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决．

（2）①先判断四边形BFDG是平行四边形，再由（1）BF=FD得到结论；

②要求FG的长，可先求出OF的长，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出BF的长．在Rt△BFA中，知AB=6、AF+BF=AD=8，可求出BF的长，问题得以解决．

试题解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠的性质可知：∠EBD=∠CBD，∴ADB=∠EBD，∴BF=FD，∴△BDF是等腰三角形；

（2）①四边形BFDG是菱形．理由：

∵FD∥BG，DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形．

又∵BF=DF，∴四边形BFDG是平行四边形；

②设AF=x，则FD=8﹣x，∴BF=FD=8﹣x．

在Rt△ABF中，62+x2=（8﹣x）2，解得：x=，∴FD=8﹣=．在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，∴BD=10．

∵四边形BFDG是菱形，∴OD=BD=5，FO=FG，FG⊥BD．在Rt△ODF中，∵FO2+DO2=FD2，即FO2+52=（）2，∴FO=，∴FG=2FO=．