Question

【题目】如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

又∵AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴△ABG≌△AFG（HL）；

②∵CD=3DE

∴DE=2，CE=4，

设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2

∵GE2=CG2+CE2

∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，

解得x=3，

∴CG=6﹣3=3；

（2）解：如图，过C作CM⊥GF于M，

∵BG=GF=3，

∴CG=3，EC=6﹣2=4，

∴GE= =5，

CMGE=GCEC，

∴CM×5=3×4，

∴CM=2.4，

∴S△FGC= GF×CM= ×3×2.4=3.6．

【解析】（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2 ， 进而求出BG即可；（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案
【考点精析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．