Question

如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，当点D位于何处时，△EFD的面积最小？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,二次函数的最值,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：求出△ADF≌△BED≌△CFE，设等边三角形ABC的边长为a，设BD=x，求出高AM和DN，根据三角形的面积公式即可得出二次函数解析式，求出最值即可．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，
设等边三角形ABC的边长为a，设BD=x，
在Rt△ABM和Rt△BDN中，AM=AB×sin60°=

3

2

a，DM=BD×sin60°=

3

2

x，
则S_△EFD=S_△ABC-3S_△BDE
=

1

2

×BC×AM-

1

2

×BE×DN
=

1

2

•a•

3

2

a-

1

2

•（a-x）•

3

2

x
=

3

4

x²-

3

4

ax+

3

4

a²，
∵

3

4

＞0，开口向上，有最小值，
当x=-

- 3 4 a

2× 3 4

=

1

2

a时，△EFD的面积最小，
即当点D位于AB的中点上时，△EFD的面积最小．

点评：本题考查了三角形的面积，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是得出二次函数的解析式．