Question

如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连结EC，取EC中点F，求证：
（1）AF=DF；
（2）AF⊥DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接BF，延长DF交AC于点G，利用等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，可证得DG∥BC，得出△ADG为等腰在角形，再证明△DEF≌△GFC，得到DF=FG，可得到结论；
（2）由（1）结合F为DG中点，可得到AF=DF=FG．

解答：证明：（1）连接BF，延长DF交AC于点G，
∵∠EBD=∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
在RT△EBC中，F为斜边中点，
∴BF=EF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠DFE=∠DFB，
∵∠EFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠DFE+∠DFB=∠FBC+∠FCB，
∴2∠DFB=2∠FBC，
则∠DFB=∠FBC，
∴DG∥BC，
∵△BAC为等腰直角三角形，且DG∥BC，AB=AC，
∴AD=AG，BD=CG，
∵BD=DE，
∴DE=CG，
∵∠BDE=∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEF=∠GCF，
在△DEF和△GCF中，

EF=CF ∠DEF=∠GCF DE=CG

∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴DF=FG，
∵△DAG为等腰直角三角形，
∴AF⊥DG；
（2）∵F为DG中点，
∴在RT△DAG中，AF=DF．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，证得△ADG为等腰三角形是解题的关键．