Question

【题目】阅读下面内容，并解决问题：

《名画》中的数学

前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席(教师职务)来到农村学校当一名普通老师．画中，黑板上写着一道式子，如图所示：

从这道算式计算可以得出答案等于2，如果仔细一研究，10，11，12，13，14这几个数具有一种有趣的特性： ，而且．

请解答以下问题：

（1）还有没有其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和呢？如果有，请求出另外的五个连续的整数；

（2）若七个连续整数前四个数的平方和等于后三个数的平方和，请直接写出符合条件的连续整数．

Answer 1

【答案】（1）存在其他五个连续的整数－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和；（2）21，22，23，24，25，26，27和－3，－2，－1，0，1，2，3．

【解析】

（1）设五个连续整数为n，n+1，n+2，n+3，n+4，根据题意n2+（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2+（n+4）2，解方程得到n．
（2）设七个连续整数为n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根据题意（n-1）2+（n-2）2++（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，解方程得到n．

（1）存在其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．

设x为这五个连续整数的第二个数．

依题意列方程，得．

化简，得．

解这个方程，得，，

∴五个连续的整数为10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．

答：存在其他五个连续的整数－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．

（2）设七个连续整数为n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根据题意得：
（n-1）2+（n-2）2+（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，
∴n2-24n=0
解得n=24或n=0，
当n=24时这五个数为21，22，23，24，25，26，27．
当n=0时这五个数为-3，-2，-1，0，1，2，3．
故答案为：符合条件的连续整数有两组：
第一组21，22，23，24，25，26，27；
第二组-3，-2，-1，0，1，2，3．